图论-二分图

二分图

是图论中的一种特殊模型。若能将无向图G=(V,E)的顶点V划分为两个交集为空的顶点集，并且任意边的两个端点都分属于两个集合，则称图G为一个为二分图。

其充要条件是：图中至少存在两个点，且图中所有回路的长度均为偶数。

当图中的顶点分为两个集合，使得第一个集合中的所有顶点都与第二个集合中的所有顶点相连时，此时是一特殊的二分图，称为完全二分图。

匹配

一个匹配即一个包含若干条边的集合，且其中任意两条边没有公共端点。如下图，图3的红边即为图2的一个匹配。

定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如上图中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配

在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题，最大匹配的边数称为最大匹配数。如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配（即一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，就是一个完全匹配）。如果在左右两边加上源汇点后，图G等价于一个网络流，最大匹配问题可以转为最大流的问题。解决此问的匈牙利算法的本质就是寻找最大流的增广路径。

上图中，{1-7，2-5，3-6，4-8}就是一个最大匹配，也是一个完全匹配。

完全匹配一定是最大匹配，但是并非每个图都存在完全匹配。

简单来说，对于一个二分图，左点集中的每一个点都与右点集的一个点匹配，或者右点集中的每一个点都与左点集的一个点匹配。

完美匹配

对于一个二分图，左点集与右点集的点数相同，若存在一个匹配，包含左点集、右点集的所有顶点，则称为完美匹配。

简单来说，对于一个二分图，左点集中的每一个点都与右点集的一个点匹配，并且右点集中的每一个点都与左点集的一个点匹配。

{1-7，2-5，3-6，4-8}也是一个完美匹配。

最大匹配问题

举例来说，若存在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对都互相喜欢？这就是完全匹配问题。而最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对？这就是最大匹配问题。

最优匹配

最优匹配又称为带权最大匹配，是指在带有权值边的二分图中，求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。一般X和Y集合顶点个数相同，最优匹配也是一个完备匹配，即每个顶点都被匹配。如果个数不相等，可以通过补点加0边实现转化。一般使用KM算法解决该问题。

带权二分图的权值最大的完全匹配称为最佳匹配，要注意的是，二分图的最优匹配不一定是二分图的最大权匹配。

实质上最优匹配问题就是求边权和最大的最大匹配问题。

求解技巧：可以添加一些权值为 0 的边，使得最优匹配和最大权匹配统一起来。

最小覆盖

二分图的最小覆盖分为最小顶点覆盖和最小路径覆盖：

①最小顶点覆盖是指最少的顶点数使得二分图G中的每条边都至少与其中一个点相关联，二分图的最小顶点覆盖数=二分图的最大匹配数；

②最小路径覆盖也称为最小边覆盖，是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点。二分图的最小路径覆盖数=|V|-二分图的最大匹配数；

最大独立集

最大独立集是指寻找一个点集，使得其中任意两点在图中无对应边。对于一般图来说，最大独立集是一个NP完全问题，对于二分图来说 最大独立集=|V|-二分图的最大匹配数。

匈牙利算法—基本概念

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。

最大匹配与最小点覆盖

最小点覆盖：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。

最小割定理：一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。

最小点集覆盖==最大匹配：在这里解释一下原因，首先，最小点集覆盖一定>=最大匹配，因为假设最大匹配为n，那么我们就得到了n条互不相邻的边，光覆盖这些边就要用到n个点。现在我们来思考为什么最小点集覆盖一定<=最大匹配。任何一种n个点的最小点集覆盖，一定可以转化成一个n的最大匹配。因为最小点集覆盖中的每个点都能找到至少一条只有一个端点在点集中的边（如果找不到则说明该点所有的边的另外一个端点都被覆盖，所以该点则没必要被覆盖，和它在最小点集覆盖中相矛盾），只要每个端点都选择一个这样的边，就必然能转化为一个匹配数与点集覆盖的点数相等的匹配方案。所以最大匹配至少为最小点集覆盖数，即最小点集覆盖一定<=最大匹配。综上，二者相等。

匈牙利算法

由增广路的性质，增广路中的匹配边总是比未匹配边多一条，所以如果我们放弃一条增广路中的匹配边，选取未匹配边作为匹配边，则匹配的数量就会增加。匈牙利算法就是在不断寻找增广路，如果找不到增广路，就说明达到了最大匹配。

参考资料：

https://www.cnblogs.com/shenben/p/5573788.html

https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/84260940